在数学中，函数的性质是研究的核心之一。当我们讨论一个函数是否具有某些特性时，通常会涉及到它的可导性和连续性。这两个概念看似相似，但实际上有着严格的定义和关系。
什么是连续？
首先，我们需要明确什么是“连续”。一个函数在某一点上连续，意味着当自变量从这一点向另一侧无限接近时，函数值也会随之无限接近。换句话说，函数图像在这一点没有断开或跳跃的情况。用数学语言来说，如果对于任意一个小的正数ε，总能找到一个正数δ，使得当自变量的变化量小于δ时，函数值的变化量小于ε，那么这个函数就是连续的。
什么是可导？
接着，我们来看“可导”。一个函数在某一点可导，指的是该点处存在有限的导数值。换句话说，函数图像在这一点处有明确的切线方向，且斜率不为无穷大。这要求函数不仅在该点连续，而且在这一点附近的曲线必须足够光滑，不能有尖角或者断裂。
可导与连续的关系
那么，“可导必定连续”这句话到底是什么意思呢？它表明了一个重要的数学事实：如果一个函数在一个点上可导，那么它必然在这个点上也是连续的。这是因为计算导数的过程实际上包含了对极限的操作，而极限存在的前提条件之一就是函数本身必须是连续的。
简单打个比方，想象你在驾驶一辆车沿着一条道路行驶。如果你能够精确地控制油门和刹车来调整速度（即函数可导），那么你的速度变化一定是平滑的，不会突然中断或出现异常波动（即函数连续）。反之，如果车辆的速度忽快忽慢甚至停滞不前，则说明你无法准确控制速度，也就谈不上精确调节了。
总结
因此，“可导必定连续”强调的是函数在满足更高阶要求（如可导）之前，首先要达到最基本的要求——连续。这一原理不仅是微积分学中的基本定理，也是我们在分析复杂系统行为时的重要工具。理解这一点有助于我们更好地把握数学模型的本质，并将其应用于实际问题解决之中。