在高等数学中，等价无穷小是一个非常重要的概念，它在求解极限问题时具有广泛的应用。当我们处理函数的极限时，如果能够合理地利用等价无穷小替换，可以大大简化计算过程。那么，究竟哪些是常用的等价无穷小呢？接下来我们就来详细列举一下。
基本的等价无穷小关系
1. 当 \(x \to 0\) 时，\( \sin x \sim x \)
2. 当 \(x \to 0\) 时，\( \tan x \sim x \)
3. 当 \(x \to 0\) 时，\( \arcsin x \sim x \)
4. 当 \(x \to 0\) 时，\( \arctan x \sim x \)
5. 当 \(x \to 0\) 时，\( e^x - 1 \sim x \)
6. 当 \(x \to 0\) 时，\( \ln(1+x) \sim x \)
7. 当 \(x \to 0\) 时，\( 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} \)
8. 当 \(x \to 0\) 时，\( (1+x)^a - 1 \sim ax \) （其中 \(a\) 为常数）
高阶等价无穷小关系
9. 当 \(x \to 0\) 时，\( \sinh x \sim x \)
10. 当 \(x \to 0\) 时，\( \tanh x \sim x \)
11. 当 \(x \to 0\) 时，\( \arsinh x \sim x \)
12. 当 \(x \to 0\) 时，\( \artanh x \sim x \)
13. 当 \(x \to 0\) 时，\( \ln(1-x) \sim -x \)
14. 当 \(x \to 0\) 时，\( 1 - \cosh x \sim \frac{x^2}{2} \)
15. 当 \(x \to 0\) 时，\( \sqrt{1+x} - 1 \sim \frac{x}{2} \)
复合函数的等价无穷小
16. 当 \(x \to 0\) 时，\( \sin(\sin x) \sim x \)
17. 当 \(x \to 0\) 时，\( \tan(\tan x) \sim x \)
18. 当 \(x \to 0\) 时，\( \ln(1+\sin x) \sim x \)
19. 当 \(x \to 0\) 时，\( e^{\sin x} - 1 \sim x \)
20. 当 \(x \to 0\) 时，\( \arcsin(\sin x) \sim x \)
以上这些等价无穷小关系在解决极限问题时非常实用，尤其是在洛必达法则不易应用或者计算复杂的情况下。使用这些关系时需要注意的是，它们只在变量趋近于某个特定值（如 \(0\)）时成立，因此在具体应用时一定要确保条件满足。
通过掌握这些基本和高阶的等价无穷小关系，我们可以更高效地解决各种复杂的极限问题。希望本文能帮助大家更好地理解和运用等价无穷小的概念！