柯西不等式在高考中应用（有关柯西不等式）

您好,今天小编胡舒来为大家解答以上的问题。柯西不等式在高考中应用，有关柯西不等式相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧！

1、柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

2、但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

3、 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

4、 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

5、 二维形式 　　(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 　　等号成立条件：ad=bc 三角形式 　　√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a-c)^2＋(b-d)^2] 　　等号成立条件：ad=bc 　　注：“√”表示平方根， 向量形式 　　|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2） 　　等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

6、 一般形式 　　(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。

7、 　　上述不等式等同于图片中的不等式。

8、 推广形式 　　(x1＋y1＋…)(x2＋y2＋…)…(xn＋yn…)≥[(Πx)^(1/n)＋(Πy)^(1/n)＋…]^n 　　注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。

9、此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均 　　不小于各列元素之和的几何平均之积。

10、（应为之积的几何平均之和） 柯西不等式的证明及应用（河西学院数学系01（2）班 甘肃张掖 734000）摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

11、本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。

12、关键词：柯西不等式 证明 应用 中图分类号： O178 Identification and application of Cauchy inequalityChen Bo（department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000）Abstract: Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides several ***.keyword：inequation prove application柯西（Cauchy）不等式 等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 = 恒成立即当且仅当 即时等号成立证明（2）数学归纳法 （1）当时 左式= 右式=显然 左式=右式当 时， 右式 右式 仅当即 即时等号成立故时 不等式成立 （2）假设时，不等式成立即 当 ，k为常数， 或时等号成立设 则 当 ，k为常数， 或时等号成立即 时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：1） 证明相关命题例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式。

13、 已知点及直线 设点p是直线上的任意一点， 则 （1） （2）点两点间的距离就是点到直线的距离，求（2）式有最小值，有由（1）（2）得： 即 （3）当且仅当 （3）式取等号 即点到直线的距离公式即2） 证明不等式例2 已知正数满足 证明 证明：利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得：故3） 解三角形的相关问题例3 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。

14、4） 求最值例4已知实数满足， 试求的最值 解：由柯西不等式得，有即由条件可得， 解得，当且仅当 时等号成立，代入时， 时 5）利用柯西不等式解方程例5．在实数集内解方程解：由柯西不等式，得 ① 又即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得它与联立，可得 6）用柯西不等式解释样本线性相关系数在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数，并指出且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度越小。

15、现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。

16、现记，，则，，由柯西不等式有，当时，此时，，为常数。

17、点 均在直线上，当时，即而为常数。

18、此时，此时，，为常数点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大当时，不具备上述特征，从而，找不到合适的常数，使得点都在直线附近。

19、所以，越接近于0，则相关程度越小。

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