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为什么正多面体只有5种(正多面体只有5种证明)
大家好,小鹅来为大家解答以上问题。为什么正多面体只有5种,正多面体只有5种证明很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!
解答:
1、 证明了:设正多面体的每个面都是正N边行,每个顶点都是M条边,那么边数E应该是F(面数)和N的乘积的一半,即NF=2e(公式1)。同时,e应该是v(顶点数)和m的乘积的一半,即mv=2e(公式2)。从公式1和公式2得到,F=2E/n,V=2E/m,代入欧拉公式V F-E=2。在完成2E/2E/n-E=2之后,我们得到1/m 1/n=1/21/e
2、 由于e是正整数,所以是1/E0。所以1/m 1/n 1/2(公式3),公式3说明m和n不能都大于3,否则公式3不成立。另一方面,因为m和n(正多面体顶点的边数和多边形的边数)的含义是已知的,所以m=3,n=3。因此,m和n中至少有一个等于3。
3、 当m=3时,因为1/n1/2-1/3=1/6,n是正整数,所以n只能是3,4,5。
4、 同样,n=3,m只能是3,4,5,所以正多面体只有5个,分别是n m型,3 ^ 3正四面体,4 ^ 3正六面体,3 ^ 4正八面体,5 ^ 3正十二面体,3 ^ 5正二十面体,因为上述5个多面体确实可以用几何方法制作,但是不可能有其他的正多面体。
本文到此结束,希望对大家有所帮助。
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